A fórmula dos juros compostos, explicada e resolvida

Qual é a fórmula dos juros compostos?

Eu vou pegar o seguinte, eu vou botar o fluxo aqui, ele vai ser o numerador, o denominador vai ser o quê? 1 mais a taxa, aí eu elevo pelo prazo. É a mesma fórmula lida do outro lado: quando eu trago tudo isso ao valor presente, ou seja, desconto esses fluxos por essa taxa de juros aqui de 10%, esses 100 reais valem 90,91. Compor e descontar são a mesma conta em dois sentidos, tá?

E essa taxa de 1% ao mês é hipótese minha, declarada de propósito: vamos partir da premissa que a renda fixa vai render 1% ao mês aqui só para facilitar as contas. Aritmética de ilustração, não projeção nem promessa de rentabilidade.

Juros simples ou compostos: qual a diferença?

No regime simples o juro incide sempre sobre o capital inicial. No composto ele incide sobre o capital mais o juro já acumulado, e é daí que vem o apelido de juros sobre juros.

Rodando os mesmos R$ 1.000 dos dois lados a 1% ao mês, 12 meses dão R$ 1.120,00 no simples contra R$ 1.126,83 no composto. R$ 6,83 de diferença. Quase nada.

Agora estica para 240 meses. A mesma taxa separa os dois em R$ 3.400,00 contra R$ 10.892,55.

Premissa da tabela: capital de R$ 1.000,00, taxa de 1% ao mês declarada como hipótese, sem aporte. Não é projeção, promessa nem garantia de rentabilidade.

Quem escolhe o regime não é você, é o contrato: poupança, CDB, financiamento e fatura do cartão trazem o regime declarado no papel. O que muda de lado é a tua posição. E a partir do momento que eu estou pagando a dívida mês a mês, eu tenho uma situação onde eu estou fazendo juros simples trabalhar contra mim. Então você tem juros compostos ao teu favor e juros simples contra você. E isso é uma grande vantagem matemática ao longo do tempo.

O tempo pesa mais que a taxa?

O tempo pesa mais porque o expoente da fórmula é o n, o número de períodos, e não a taxa.

Na tabela de 30 anos que eu mostro no episódio 65, quem tem uma rentabilidade 2% ao mês ao longo de 20 anos, vai ter um retorno quase 12 vezes maior do que quem tem uma rentabilidade de 1%. Ou seja, o dobro da taxa não dobra o resultado. A diferença é exponencial, não linear.

E a capitalização só continua se o juro voltar para dentro. Quem tira o rendimento todo mês, ou gasta o dividendo em vez de recolocar lá dentro, está rodando juros simples com nome de composto.

Por isso prazo é a alavanca que você controla, e taxa é a que o mercado controla.

Premissa é premissa, tá? Nenhum desses números é promessa de rentabilidade: é aritmética com taxa hipotética declarada.

Como converter 1% ao mês em ano?

Para passar de taxa ao mês para taxa ao ano você não multiplica por 12, você compõe: (1 + i)^12 − 1.

Na mesma tabela do episódio 65 está 1% ao mês, que dá 12,68 ao ano, 1,1% ao mês, que dá 14,03, até 2% que vai dar 26,82%. O caminho de volta é a raiz: (1 + i)^(1÷12) − 1. Então 12% ao ano equivalem a 0,9489% ao mês, e não a 1%.

Ida: (1 + i)^12 − 1 · Volta: (1 + i)^(1÷12) − 1

A terceira coluna existe para mostrar o tamanho do erro: quanto maior a taxa, mais a multiplicação por 12 subestima o resultado.

É exatamente aqui que todo material avisa que taxa e prazo precisam estar na mesma base. E para justo antes de ensinar a conta.

Quando a proposta do banco mistura taxa ao mês com prazo em anos, converta a taxa, nunca o prazo. Aí, sim, você compara as duas na mesma base, beleza?

E se eu investir todo mês?

Com aporte mensal a fórmula ganha uma segunda parcela: M = P · (1 + i)^n + A · [((1 + i)^n − 1) ÷ i], em que A é o valor que entra todo mês.

A primeira parcela é o dinheiro que já estava lá. A segunda é a série de depósitos, cada um rendendo só pelo tempo que ainda lhe resta.

Na prática eu resolvo isso na HP12C em vez de na mão, mexendo num parâmetro por vez na frente de quem assiste. Então quantos meses eu vou demorar para ter esses 10 mil de renda investindo 5 mil por mês? 89 meses. Então a gente está falando aí de aproximadamente 8 anos e meio, correto? Vamos alterar para 10 mil por mês esse aporte. Olha, já vai para menos de cinco anos.

Episódio em que a HP12C resolve o aporte recorrente ao vivo, um parâmetro por vez.

E se em vez do aporte você travar o prazo em 10 anos, a conta devolve o aporte que você precisa para chegar no mesmo lugar.

Taxa declarada como premissa, resultado como ilustração.

Como rodar o meu caso no simulador?

O simulador roda aqui na própria página, sem cadastro e sem mandar dado para lugar nenhum. Você põe capital inicial, aporte mensal, taxa e prazo, e ele devolve o montante, o total aportado e quanto daquele montante é juro.

São três alavancas, e cada uma faz uma coisa diferente:

Cada campo de taxa carrega o aviso de base: taxa ao mês pede prazo em meses. A tabela ano a ano sai em HTML, não em print, para você copiar e conferir na tua planilha.

Nenhum campo vem pré-preenchido com taxa de mercado. Taxa de mercado muda toda semana, e esta página não a carrega. A taxa do teu caso está no teu extrato, no teu contrato ou na proposta que você tem na mão.

E o resultado sai carimbado. Os números que você digitou são hipótese tua, não previsão minha, e nada aqui é promessa de rentabilidade.

Premissa da tabela: capital inicial zero, taxa de 1% ao mês declarada como hipótese, aporte no fim de cada mês. Não é projeção, promessa nem garantia de rentabilidade.

Como calcular no Excel e na HP12C?

No Excel a função de valor futuro é =VF(taxa; nper; pgto; vp). O sinal de igual e o nome da função ficam dentro da expressão. Escrito fora dela, como o artigo que hoje ranqueia para esta busca instrui, a planilha devolve erro de sintaxe.

O que trava quase todo mundo na primeira tentativa é o sinal. Aí vamos dizer que eu posso juntar. 5 mil por mês. Eu vou ter que botar aqui o valor de 5 mil negativo porque é uma saída de caixa. O mesmo vale para o campo do valor presente.

Na HP12C a sequência é esta:

1. Limpa os registros financeiros.
2. Digita o valor e aperta CHS PV.
3. Digita a taxa do período e aperta i.
4. Digita o prazo e aperta n.
5. Aperta FV, e o visor devolve o montante.

Com aporte mensal, o aporte entra em PMT, também negativo. Taxa e prazo na mesma base, sempre.

Quem preferir replicar a fórmula na mão escreve =P*(1+i)^n com o acento circunflexo, que é a mesma conta sem função nenhuma.

Dá para estimar sem calculadora?

Dá, com duas contas de padeiro.

As duas servem para checar ordem de grandeza antes de abrir planilha. E as taxas entram como premissa declarada, nunca como rendimento prometido.

Quanto sobra depois de inflação e imposto?

O montante que a fórmula devolve é nominal: ainda não desconta inflação nem imposto.

Para chegar ao ganho real você não subtrai, você divide: (1 + i) ÷ (1 + inflação) − 1. Com as taxas do exemplo do episódio 65, 10% ao ano contra 5,5% de inflação dão 4,3% ao ano de ganho real, e não os 4,5% que a subtração sugere.

Ganho real = (1 + i) ÷ (1 + inflação) − 1

Premissa da tabela: taxa de 10% ao ano e inflação de 5,5% no mesmo período, as duas declaradas no episódio 65. O imposto entra depois disso e não está na tabela.

Depois vem o imposto, e aqui tem um detalhe que quase ninguém conta: toda vez que um título de renda fixa ele vence na tua mão, aquilo se transforma em dinheiro, você é obrigado a pagar um imposto de renda.

Cada vencimento tributado poda o montante que continuaria compondo. Qual alíquota cai no teu caso depende do produto e do prazo, e isso está na regra do que você comprou. Esta página não publica faixa de imposto.

E quando os juros trabalham contra você?

Do lado da dívida a fórmula é exatamente a mesma, só que o expoente trabalha contra você: uma taxa que parece pequena ao mês vira um número grande ao ano, porque compõe do mesmo jeito.

A decisão de investir ou quitar tem a ver com você ter um retorno maior do que o custo dessa dívida. E uma das grandes ilusões é que as pessoas não conseguem diferenciar dívida de consumo de dívida de investimento.

Então o roteiro é curto:

1. Separa dívida de consumo de dívida de investimento.
2. Pega a taxa que a tua dívida cobra de verdade. Ela está impressa na tua fatura e no teu contrato, e é de lá que ela tem de sair: esta página não publica taxa de rotativo, cheque especial nem crediário.
3. Roda a mesma fórmula com essa taxa.
4. Compara com o retorno que você espera, na mesma base de tempo.

E antes de você se achar no meio disso: administrar o endividamento e ainda fazer um investimento que vai superar esse custo da dívida é para alguém com uma capacidade financeira intelectual acima da média.

Episódio inteiro sobre investir ou pagar dívida.

Einstein disse isso sobre juros compostos?

Não existe fonte documentada para a frase sobre juros compostos atribuída a Albert Einstein, e por isso ela não aparece nesta página como citação.

O que dá para verificar é o uso dela. O artigo que hoje ranqueia para esta busca abre a seção da fórmula com um blockquote atribuído nominalmente a Einstein, sem referência a carta, artigo, entrevista ou arquivo.

Eu não repito atribuição que eu não consigo sustentar. Então aqui a página nomeia o problema em vez de reproduzir ele.

O que a fórmula precisa para funcionar é aritmética. E aritmética você confere em três linhas de planilha, sem aval de físico nenhum.

Quanto custa começar quinze anos depois?

Começar quinze anos depois custa mais caro do que aportar pouco, e dá para medir. Com R$ 500 por mês a 1% ao mês, 35 anos de aporte chegam a cerca de R$ 3,22 milhões com R$ 210 mil depositados, e 20 anos chegam a cerca de R$ 494 mil com R$ 120 mil depositados.

Quinze anos a menos derrubam o resultado para menos de um sexto, com 43% menos dinheiro saindo do bolso.

Premissa da tabela: aporte de R$ 500,00 por mês, taxa de 1% ao mês declarada como hipótese, capital inicial zero. Não é projeção, promessa nem garantia de rentabilidade.

E o principal custo de você ter uma má alocação em ativos que não performam bem é o custo de oportunidade.

O mesmo vale para o dinheiro que ficou parado esperando o momento certo. Ele pagou esse custo sem aparecer em extrato nenhum.

Eu comecei aos 13 anos e nunca troquei o meu horizonte de lugar.

Os dois cenários são a mesma fórmula rodando sobre a mesma taxa hipotética. O que muda entre eles é só o número de meses.

FAQ: perguntas frequentes sobre juros compostos